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假設 f[x] = ax三次方 + bx平方 + cx + d =0
若abcd是整數 有根是 1+根號2 就必有 另一個解是 1"-" 根號2
那 1+根號2 是複數
所以 在整係數方程式裡面 複數 成對
然後 在 實係數方程式裡面 虛根成對 ?
另外 若 最上面的三次方程式 = 0
" 無任何條件之下 " "恰"有三個複數根 ?
2013-06-28 17:12:03 補充
整係數方程式 虛根也成對 ?
其實這個例子是 參考書的 ~ 我想他只是要考我 NZQRC的範圍跟差異 題目才會這樣出 ~
2013-06-29 10:08:43 補充
那個 ..... ^ 是什麼意思 ..... 我沒有用過這個 ...
不過例子我大致上懂了 謝謝 ~ !!
我還有個數學問題 如果能幫我的話~ -點我的發問吧 !
最佳解答
- 發問者自選
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你這樣說很混淆，因為實數和虛數都是複數。
例如(x-1)(x-2)=0，兩根為1,2，可說是整數根，也可說是有理數根，也可說是複數根。這樣這兩個複數根並沒有成對啊！
你舉的例子1+√2和1-√2是複數根沒錯，就像1,2也是複數根一樣。但容易混淆，最好把他們稱為無理根比較不會被誤會。我是怕你把1+√2和1-√2想成是虛根，你說成複數根，我就不知道你想的對不對了。
所以應該這樣說：
整係數方程式，無理根成對，虛根也成對。
實係數方程式，無理根不一定成對，但虛根成對。
複係數方程式，虛根就不一定成對了。
至於”無任何條件下”，應該指的是複係數方程式，恰有三個複數根是對的，只不過這些根可能是實根，也可能是虛根，也有可能有重根。
2013-06-28 17:46:46 補充
對，整係數方程式虛根也成對，舉個例子：
整係數方程式 ax^2+bx+c=0
若有一虛根 α 和一實根 β，由根與係數的關係知
α+β= -b/a，因為α是虛數，β是實數，α+β是虛數，但 -b/a是有理數，這樣怎麼相等呢？
所以α和β必是成對的虛根，這樣相加時虛數的部分才能抵消掉。
例如：x^2-4x+5=0
兩根為2+i 和2-i，(2+i)+(2-i)=4，這樣才能等於 -b/a = 4/1 = 4
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