小人物狂想曲

(1) (-x+3y)dx=(x+y)dy求解計算過程
 
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

M,N=直線方程式,但是沒有常數項,它們的正確解法過程如下所示:

0=(x-3y)dx+(x+y)dy

=(1-3y/x)dx+(1+y/x)dy.....除x

=(1-3u)dx+(1+u)(udx+xdu)....u=y/x => y=ux

=[(1-3u)+(u^2+u)]dx+(1+u)xdu

=(u^2-2u+1)dx+(1+u)xdu

=(u-1)^2*dx+x(u+1)du

兩邊同除x(u-1)^2可以分離係數:

0=dx/x+(u+1)du/(u-1)^2

=∫dx/x+∫(u-1+2)du/(u-1)^2

ln(1/c)=ln(x)+∫(u-1)du/(u-1)^2+2∫du/(u-1)^2

=ln(x)+∫d(u-1)/(u-1)+2∫d(u-1)/(u-1)^2

=ln(x)+ln(u-1)-2/(u-1)

=ln[x(y/x-1)]-2/(y/x-1)

=ln(y-x)-2x/(y-x)

2x/(y-x)=ln[c(y-x)].....ans

(2) 怎麼知道這題要用要設v(x)為變數,然後積分後再還原成原式求解?

Ans:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

M,N=直線方程式,但是沒有常數項

則可以設定v=y/x => y=v*x => dy=vdx+xdv

(3) 那些題型適合分離變數法? 又哪些題型是正和方程式? 如何分辨?

(3.1) ∂M/∂y=∂N/∂x => 正和方程式

(3.2) 兩邊同除某式可以分離係數:

例如: 0=4ydx+xdy

兩邊同除xy可以分離係數:

0=4dx/x+dy/y

=4∫dx/x+∫dy/y

ln(c)=4ln(x)+ln(y)

c=y*x^4

(4) 柏努力方程式是否僅解決等號後面是有n次方的數?不然考試題目出來我根本

不知道要用哪種方法 @@

Ans: Yes!!

柏努利方程式: y'+P(x)*y=Q(x)*y^n

兩邊同除y^n:

y'/y^n+P(x)*y^(1-n)=Q(x)

Let u=y^(-n+1) => u'=(-n+1)y^(-n)*y'

y'/y^n=u'/(1-n)

=> u'+(1-n)P(x)*u=(1-n)Q(x)

變成1次1階標準式